题目内容

已知点P在曲线C： $数学公式$ 上，曲线C在点P处的切线与函数y=kx（k＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，设点P的横坐标为t，点A、B的横坐标分别为x_A、x_B，记f（t）=x_A•x_B．
（1）求f（t）的解析式；
（2）设数列{a_n}满足 $数学公式$ ，求数列{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，当1＜k＜3时，证明不等式 $数学公式$ ．

解：（1）∵y= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴切线方程为 $\text{[math]}$ ，
与y=kx联立得： $\text{[math]}$ ，令y=0，得：x_B=2t，
∵f（t）=x_A•x_B，
∴ $\text{[math]}$ （k＞0，t＞1）．
（2）由 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
设 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵a₁=1，
∴①当k=3时， $\text{[math]}$ ，
∴{b_n}是以0为首项的常数数列，
∴a_n=1．
②当k≠3时，{b_n}是以1- $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
由①②，得 $\text{[math]}$ ．
（3）∵ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∵1＜k＜3，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
=（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
＞ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∵1＜k＜3，
∴ $\text{[math]}$ ＞0．
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由y= $\text{[math]}$ ，求出切线方程为 $\text{[math]}$ ，与y=kx联立得： $\text{[math]}$ ，x_B=2t，再由f（t）=x_A•x_B，能求出f（t）的解析式．
（2）由 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此导出 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
（3）因为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由1＜k＜3，知 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ＞0，由此能够证明 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列与不等式的综合，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．