Question

17．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，给出下列结论：
①直线AC₁与BD互相垂直；
②二面角A₁-BD-C的余弦值为$-\frac{1}{3}$；
③AC₁与平面A₁BD的交点是线段A₁C的一个三等分点；
④AC₁与平面A₁BD的交点是△A₁BD的外心；
⑤AC₁与平面A₁BD所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
其中正确的结论有①②③⑤（请写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析 由线面垂直的判定和性质判断①；通过求解三角形得到二面角A₁-BD-C的余弦值判断②；求出A到AC₁与平面A₁BD的交点的距离与体对角线的关系判断③；通过解三角形判断④⑤．

解答 解：①连接AC，∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
又CC₁⊥BD，可得直线AC₁与BD互相垂直，①正确；
②∵AB=AD=1，AA₁=2，∴AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，${A}_{1}O=\sqrt{{2}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴cos$∠AO{A}_{1}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{3}$，则二面角A₁-BD-C的余弦值为$-\frac{1}{3}$，②正确；
③$A{C}_{1}=\sqrt{6}$，sin$∠CA{C}_{1}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，解三角形可得，A到AC₁与平面A₁BD的交点的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，是线段A₁C的一个三等分点，③正确；
④解三角形可得，AC₁与平面A₁BD的交点到A₁的距离为$\sqrt{2}$，到B、D的距离均为1，∴AC₁与平面A₁BD的交点不是△A₁BD的外心，④错误；
⑤由③知，AC₁与平面A₁BD所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，⑤正确．
故答案为：①②③⑤．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间直线和平面的位置关系，考查了空间想象能力，是中档题．