Question

12．已知a，b，c∈R⁺，求证：2（a³+b³+c³）≥a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）．

Answer 1

分析 运用作差法，证明a³+b³-a²b-ab²≥0，即有a³+b³≥a²b+ab²；同理可得b³+c³≥b²c+bc²；a³+c³≥a²c+ac²．再由累加法，即可得证．

解答 证明：由a，b，c∈R⁺，
a³+b³-a²b-ab²=（a+b）（a²-ab+b²）-ab（a+b）
=（a+b）（a²-2ab+b²）
=（a+b）（a-b）²≥0，
即有a³+b³≥a²b+ab²；
同理可得b³+c³≥b²c+bc²；
a³+c³≥a²c+ac²．
上面三式，相加可得，
2（a³+b³+c³）≥a²b+ab²+b²c+bc²+a²c+ac²
=a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²），
当且仅当a=b=c时，取得等号．

点评 本题考查不等式的证明，考查作差法和累加的应用，考查运算能力，属于基础题．