Question

17．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$+ax+2lnx（a∈R）有一个极值点为x=1．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）设函数F（x）=f（x）+f（2x），当t∈[$\frac{3}{4}$，1]时，比较F（t）与F（1）的大小．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094）

Answer 1

分析 （1）求导，函数有一个极值点为x=1，得f'（1）=0，求出a值，利用导数判断函数的单调区间和极值；
（2）整理F（x）=f（x）+f（2x）=$\frac{5{x}^{2}}{2}-9x+4lnx+2ln2$，求导，利用导数判断函数单调性，利用单调性比较F（t）与F（1）的大小．

解答 解：（1）f'（x）=$\frac{{x}^{2}+ax+2}{{x}^{2}}$
∵函数有一个极值点为x=1，
∴f'（1）=0
∴a=-3
∴f'（x）=$\frac{（x-2）（x-1）}{{x}^{2}}$
∴当x∈（0，1）和（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，f（x）递减
故函数的增区间为（0，1）和（2，+∞），减区间为（1，2）；
极大值为f（1）=-$\frac{5}{2}$，极小值为f（2）=-4+2ln2；
（2）F（x）=f（x）+f（2x）=$\frac{5{x}^{2}}{2}-9x+4lnx+2ln2$
F'（x）=$\frac{（x-1）（5x-4）}{{x}^{2}}$
可知函数在（0，$\frac{4}{5}$）递增，在（$\frac{4}{5}$，1）递减
∴当t∈[$\frac{4}{5}$，1]时，F（t）＞F（1）
∵F（$\frac{3}{4}$）≈-5.1，F（1）≈-5.1
∴当t∈[$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{5}$]时，F（t）≥F（1）
故当t∈[$\frac{3}{4}$，1]时，必有F（t）≥F（1）．

点评 考察了极值点的定义和利用导数求函数单调性和函数极值．