题目内容

已知向量
a
=(sin2
π+2x
4
，cosx+sinx)，
b
=(4sinx，cosx-sinx)，f(x)=
a
•
b

（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换以及两个向量数量积公式化简f（x）的解析式为2sinx+1．
 （2）f（x）的图象与x轴的正半轴的第一个交点为(
7π
6
，0)，可得f（x）的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积S=
∫
7π
6
0
(2sinx+1)dx，运算求得结果．
解答：解：（1）f(x)=sin2
π+2x
4
•4sinx+(cosx+sinx)(cosx-sinx)----（2分）
=4sinx•
1-cos(
π
2
+x)
2
+cos2x=2sinx(1+sinx)+1-2sin2x=2sinx+1 
∴f（x）=2sinx+1．------（7分）
（2）令f（x）=2sinx+1=0，可得sinx=-
1
2
，∴x=2kπ-
π
6
，k∈z．
f（x）的图象与x轴的正半轴的第一个交点为(
7π
6
，0)------（9分）
∴f（x）的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积
S=
∫
7π
6
0
(2sinx+1)dx=（-2cosx+x）
/
7π
6
0
=（-2cos
7π
6
+
7π
6
）-（-2cos0+0）
=2+
3
+
7π
6
------（13分）
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换以及两个向量数量积公式的应用，利用定积分求图形的面积，化简f（x）的解析式为2sinx+1，是解题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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