Question

8．已知函数f（x）定义域为x∈[-1，1]且为奇函数．当x∈[-1，0）时，$f（x）=\frac{1}{4^x}-\frac{1}{2^x}$，则f（x）在x∈[-1，1]上的值域为[-2，2]．

Answer 1

分析 当x∈[-1，0）时，$\frac{1}{{2}^{x}}$∈（1，2]，$f（x）=\frac{1}{4^x}-\frac{1}{2^x}$=$（\frac{1}{{2}^{x}}-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$∈（0，2]，由于函数f（x）是奇函数，可得当x∈（0，1]时，f（x）∈[-2，0），又f（0）=0．即可得出．

解答 解：当x∈[-1，0）时，$\frac{1}{{2}^{x}}$∈（1，2]，$f（x）=\frac{1}{4^x}-\frac{1}{2^x}$=$（\frac{1}{{2}^{x}}-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$∈（0，2]，
∵函数f（x）是奇函数，∴当x∈（0，1]时，f（x）∈[-2，0），
又f（0）=0．
∴f（x）在x∈[-1，1]上的值域为[-2，2]．
故答案为：[-2，2]．

点评 本题考查了函数奇偶性求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．