Question

（2008•上海模拟）已知边长为6的正方形ABCD所在平面外一点P，PD⊥平面ABCD，PD=8，
（1）连接PB、AC，证明：PB⊥AC；
（2）连接PA，求PA与平面PBD所成的角的大小；
（3）求点D到平面PAC的距离．

Answer 1

分析：（1）欲证PB⊥AC，只需证明AC垂直PB所在平面即可，因为PB在平面PBD中，AC垂直平面PBD中的两条相交直线PD和BD，所以问题得证．
（2）欲求PA与平面PBD所成的角的大小，只需找到PA在平面PBD中的射影，PA与它的射影所成角即为所求，再放入三角形中，解三角形即可．
（3）利用等体积法，点D到平面PAC的距离可以看做三棱锥D-PAC的高，三棱锥D-PAC还可把三角形DAC看做底面，PD看做高，利用两种方式求出体积，令其相等，即可求出点D到平面PAC的距离．

解答：解：（1）证明：连接BD，在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，所以，PD⊥AC，
所以AC⊥平面PBD，故PB⊥AC．
（2）解：因为AC⊥平面PBD，设AC与BD交于O，连接PO，则∠APO就是PA与平面PBD所成的角，
在△APO中，AO=3

2

，AP=10
所以 sin∠APO=

3 2

10

∠APO=arcsin

3 2

10

PA与平面PBD所成的角的大小为arcsin

3 2

10

（3）解：连接PC，设点D到平面PAC的距离为h，
则有V_D-PAC=V_P-ACD，即：

1

3

×S△_PAC×h=

1

6

×PD×AD×DC
在△PAC中，显然PO⊥AC，PO=

82

h=

24 41

41

所以点D到平面PAC的距离为

24 41

41

点评：本题主要考查了直线与直线垂直的证明，直线与平面所成角的计算，以及点到平面的距离的求法，属于立体几何的常规题．