Question

8．已知圆O：x²+y²=25，圆O₁的圆心为O₁（m，0），⊙O与⊙O₁交于点P（3，4），过点P且斜率为k（k≠0）的直线l分别交⊙O、⊙O₁于点A，B．
（1）若k=1且$|BP|=7\sqrt{2}$，求⊙O₁的方程；
（2）过点P作垂直于l的直线l₁分别交⊙O、⊙O₁于点C，D，当m为常数时，试判断|AB|²+|CD|²是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过k=1且$|BP|=7\sqrt{2}$，利用圆心到直线的距离与半径半弦长的关系，求出m的值，然后求圆O₁的方程；
（2）设出A、B、C、D四点坐标，设出直线AB方程，通过方程组求出x₁，x₂，利用弦长公式求出AB，CD然后求出它们的和，即可判断是否是定值．

解答 解：（1）k=1时，直线l的方程为x-y+1=0，
由$|BP|=7\sqrt{2}$，得${（\frac{|m+1|}{{\sqrt{2}}}）^2}+{（\frac{{7\sqrt{2}}}{2}）^2}={（m-3）^2}+{4^2}$，解得m=14或m=0
因为m＞0，所以m=14
即圆O₁的方程为（x-14）²+y²=137；
（2）直线l的方程为y-4=k（x-3）
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=25\\ y-4=k（x-3）\end{array}\right.$消去y得：（1+k²）x²+（8k-6k²）x+9k²-24k-9=0，
${x_B}+{x_A}=-\frac{{8k-6{k^2}}}{{1+{k^2}}}$，${x_B}{x_A}=\frac{{9{k^2}-24k-9}}{{1+{k^2}}}$，
$|AB{|^2}={（{x_B}-{x_A}）^2}+{（{y_B}-{y_A}）^2}$=$（1+{k^2}）{（{x_B}-{x_A}）^2}$=$（1+{k^2}）[{（{x_B}+{x_A}）^2}-4{x_B}{x_A}]=\frac{{4{m^2}}}{{1+{k^2}}}$，
因为直线l₁垂直于l，所以用$-\frac{1}{k}$替换上式中的k，
得$|CD{|^2}=\frac{{4{m^2}}}{{1+{{（-\frac{1}{k}）}^2}}}=\frac{{4{m^2}{k^2}}}{{1+{k^2}}}$，
所以|AB|²+|CD|²=4m²．

点评 本题考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系，弦长公式的应用，考查计算能力，转化思想．