题目内容
19．设椭圆C1：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}$=1与抛物线C2：y2=8x的一个交点为P（x0，y0），定义f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2x}（0＜x＜{x}_{0}）}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{16-{x}^{2}}（x＞{x}_{0}）}\end{array}\right.$，若直线y=a与y=f（x）的图象交于A、B两点，且已知定点N（2，0），则△ABN的周长的范围是（$\frac{20}{3}$，8）．分析 可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出交点坐标，可得A，B点的横坐标范围，再利用焦半径公式转换为以B点的横坐标为参数的式子，再根据前面求出的B点横坐标范围计算即可．
解答 
解：由椭圆方程和抛物线方程联立
解得x0=$\frac{4}{3}$，y0=±$\sqrt{\frac{32}{3}}$，
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2x}，0＜x＜\frac{4}{3}}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{16-{x}^{2}}，\frac{4}{3}＜x＜4}\end{array}\right.$，
直线y=a（0＜a＜$\sqrt{\frac{32}{3}}$），
作出函数y=f（x）和直线y=a的图象，
由图象可得A在抛物线上，B在椭圆上，
由焦半径公式可得，△ABN的周长为
|AN|+|BN|+|AB|=xA+$\frac{p}{2}$+a-exB+xB-xA
=2+4-$\frac{1}{2}$xB+xB=6+$\frac{1}{2}$xB，
由xB∈（$\frac{4}{3}$，4），
可得6+$\frac{1}{2}$xB∈（$\frac{20}{3}$，8）．
故△ABN的周长的取值范围是（$\frac{20}{3}$，8）．
故答案为：（$\frac{20}{3}$，8）．
点评 本题主要考查了抛物线与椭圆焦半径公式的应用，做题时要善于把未知转化为已知，属于中档题．
练习册系列答案
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