Question

已知抛物线C：y²=ax的焦点为F，点K（-1，0）为直线l与抛物线C准线的交点，直线l与抛物线C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．
（1）求抛物线C的方程．
（2）证明：点F在直线BD上；
（3）设

FA

•

FB

=

8

9

，求△BDK的面积．

Answer 1

分析：（1）由点K（-1，0）为直线l与抛物线C准线的交点，知-

a

4

=-1，a=4，由此能求出抛物线C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₁，-y₁），l的方程为x=my-1（m≠0）．将x=my-1代入y²=4x并整理得y²-4my+4=0，再由韦达定理能够证明点F（1，0）在直线BD上．
（3）由x₁+x₂=（my₁-1）+（my₂-1）=4m²-2，x₁x₂=（my₁-1）（my₂-1）=1，知

FA

=(x1-1，y1)，

FB

=(x2-1，y2)，

FA

•

FB

=(x1-1) (x2-1) +y1y2=8-4m²，由此能够导出△BDK的面积．

解答：解：（1）∵点K（-1，0）为直线l与抛物线C准线的交点，
∴-

a

4

=-1，a=4，由此能求出抛物线C的方程y²=4x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₁，-y₁），l的方程为x=my-1（m≠0）．将x=my-1代入y²=4x并整理得y²-4my+4=0，
从而y₁+y₂=4m，y₁y₂=4．
直线BD的方程为y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)，
即y-y2=

4

y2-y1

(x-

y22

4

)令y=0，得x=

y1y2

4

=1
所以点F（1，0）在直线BD上
（3）由①知，x₁+x₂=（my₁-1）+（my₂-1）=4m²-2，
x₁x₂=（my₁-1）（my₂-1）=1，因为

FA

=(x1-1，y1)，

FB

=(x2-1，y2)，

FA

•

FB

=(x1-1) (x2-1) +y1y2=8-4m²
故8-4m2=

8

9

，解得m=±

4

3

，
所以l的方程为3x+4y+3=0，3x-4y+3=0，
又由①知y1+y2=4m=

16

3

故S△BDK=

1

2

|KF|•|y1+y2|=

1

2

×2×

16

3

=

16

3

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意合理地进行等价变换．