Question

【题目】设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为坐标原点，为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆的基本量的关系得：，化简，，所以，所求直线方程；（2）设直线的方程为，由直线与圆锥曲线的位置关系联立，整理得，，从而，由，，直线的方程为，联立方程组得解得，根据大角对大边，，从而，化简得，即，解得或．

试题解析：（1）设，由，即，

可得，

又，所以，因此，

所以椭圆的方程为．

（2）设直线的斜率为（），则直线的方程为，设，

由方程组整理得，

解得，或，

由题意得，从而．

由（１）知，，设，有，，

由，得，所以，解得，

因此直线的方程为．

设，由方程组

解得，

在△中，等价于，

即，

化简得，即，

解得或．

所以，直线的斜率的取值范围为．