Question

数列{a_n}中a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n+1=3a_n+2，（n≥2，n∈N^*）a₁=a₂=1
（1）设b_n-1=a_n+1-2a_n，求证（b_n）是等比数列
（2）证明n≥2，n∈N时{

an

2n

}是等差数列，并求{a_n}的通项式．

Answer 1

分析：（1）把给出的等式左边写成和式后得到一个简洁的递推式，把n替换后得到另外一个等式，两式作差后即可得到结论；
（2）求出等比数列的通项公式，代入b_n-1=a_n+1-2a_n，把得到的等式两边同时除以2ⁿ⁺²构造一个新数列{

an

2n

}，且同时得出该数列是等差数列．

解答：（1）解：由a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n+1=3a_n+2，（n≥2，n∈N^*），得：Sn+1=4an+2(n≥2，n∈N*)，则s_n+2=4a_n+1+2，
上述两式相减得：a_n+2=4a_n+1-4a_n，即a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
因为a₂-2a₁=1-2×1=-1≠0，所以

bn

bn-1

=

an+2-2an+1

an+1-2an

=2（n≥2，n∈N^*）．
所以{b_n}是以2为公比的等比数列；
（2）证明：在已知等式中取n=1，得：a₁+a₃=3a₂+2，∴a₃=4，
∴b₁=a₃-2a₂=4-2×1=2，
∴bn=b1×2n-1=2×2n-1=2n，即an+2-2an+1=2n∴

an+2

2n+2

-

an+1

2n+1

=

1

4

（n≥2），
所以当n≥2时{

an

2n

}为以

1

4

为公差的等差数列，
∴

an

2n

=

1

4

+

1

4

(n-2)=

1

4

(n-1)．
∴an=(n-1)2n-2(n≥2)
∴an=

1              (n=1) (n-1)2n-2(n≥2)

．

点评：本题考查了等比关系和等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，考查了数学转化思想和分类讨论思想，解答此题的关键是灵活运用已知条件构造新数列，此题是中档题．