Question

若函数的最小值是-2，求实数a的值，并求出此时f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：利用同角三角函数的平方关系式，化简函数的表达式，即可用cosx表示f（x）；换元t=cosx，0则t∈[0，1]，问题转化为二次函数闭区间上的最小值问题，通过分类，分别利用f（x）的最小值是-2，求实数a的值．
解答：解：函数f（x）=（a-1）²-2sin²x-2acosx
=（a-1）²-2+cos²x-2acosx
=2cos²x-2acosx+a²-2a-1．令t=cosx，则t∈[0，1]，
，t∈[0，1]
①当，即a≤0时，，故a=1（舍）
②当，即0＜a＜2时，
解得，取，此时y_max=-1
③当，即a≥2时，
解得a=1（舍）或a=3，，此时y_max=2
综上，当时y_max=-1；当a=3时y_max=2
点评：本题考查换元法，分类讨论的数学思想，二次函数闭区间上的最值的应用，考查转化思想，计算能力．