Question

8．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c经过坐标原点，当x=$\frac{1}{3}$时有最小值-$\frac{1}{3}$，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n＜$\frac{m}{20}$对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（x）=a（x-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$（a＞0），由于函数f（x）的图象经过原点，可得f（0）=0，解出a即可；
（2）把点（n，S_n）（n∈N^*）代入函数y=f（x）即可得到S_n．再利用“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”即可得到a_n．
（3）利用“裂项求和”即可得出T_n．由于T_n是关于n的单调递增数列，要满足使得T_n＜$\frac{m}{20}$对所有n∈N^*都成立的m，则$\frac{1}{6}$≤$\frac{m}{20}$，解得m即可．

解答 解：（1）由题意可得f（x）=a（x-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$（a＞0），
由于函数f（x）的图象经过原点，
∴f（0）=0，即$\frac{1}{9}$a-$\frac{1}{3}$=0，解得a=3．
∴f（x）=3（x-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$=3x²-2x．
（2）∵点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，
∴S_n=3n²-2n．
当n=1时，a₁=S₁=3-2=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5．
当n=1时，上式也成立．
∴a_n=6n-5（n∈N^*）．
（3）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（6n-5）（6n+1）}$=$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{6}$（1-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{13}$+…+$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$）
=$\frac{1}{6}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）＜$\frac{1}{6}$．
由于T_n是关于n的单调递增数列，
要满足使得T_n＜$\frac{m}{20}$对所有n∈N^*都成立的m，
则$\frac{1}{6}$≤$\frac{m}{20}$，
解得m≥$\frac{10}{3}$，
因此满足条件的最小正整数m=4．

点评 熟练掌握二次函数的性质、利用“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”得到a_n、“裂项求和”等是解题的关键．