Question

求当函数y=sin²x+acosx-

1

2

a-

3

2

的最大值为1时a的值．

Answer 1

分析：先通过变形化为关于cosx的二次函数，配方后，根据函数式的特点，对a进行分类讨论．

解答：解：∵y=1-cos²x+acosx-

1

2

a-

3

2

=-cos²x+acosx-

a

2

-

1

2

，设cosx=t，∵-1≤cosx≤1，∴-1≤t≤1．
∴y=-t²+at-

a

2

-

1

2

=-(t-

a

2

)2+

a2

4

-

a

2

-

1

2

，-1≤t≤1，函数y的对称轴为t=

a

2

．
（1）当

a

2

＜-1，即a＜-2时，t=-1，y有最大值-

3

2

a-

3

2

．
由已知条件可得-

3

2

a-

3

2

=1，∴a=-

5

3

＞-2（舍去）．
（2）当-1≤

a

2

≤1时，即-2≤a≤2时，t=

a

2

，y有最大值

a2

4

-

a

2

-

1

2

．
由已知条件可得

a2

4

-

a

2

-

1

2

=1，解得a=1-

7

或a=1+

7

（舍去）．
（3）当

a

2

＞1，即a＞2时，则当t=1，y有最大值

a

2

-

3

2

．
由已知条件可得

a

2

-

3

2

=1，∴a=5．
综上可得，a=1-

7

或a=5．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．