Question

如图，已知点A(0，

1

4

)，点P（x₀，y₀）（x₀＞0）在曲线y=x²上，若阴影部分面积与△OAP面积相等时，则x₀=

 

．

Answer 1

分析：根据积分的几何意义求出阴影部分的面积，结合三角形面积公式建立方程关系即可求解结论．

解答：解：∵点P（x₀，y₀）（x₀＞0）在曲线y=x²上，
∴y₀=x₀²，
则三角形△OAP面积S=

1

2

|OA||x0|=

1

2

×

1

4

x0=

1

8

x0，
阴影部分的面积为

∫

x0 0

x2dx=

1

3

x3

|

x0 0

=

1

3

x

3 0

，
∵阴影部分面积与△OAP面积相等时，
∴

1

3

x

3 0

=

1

8

x0，
即

x

2 0

=

3

8

，
∴x0=

3 8

=

6

4

，
故答案为：

6

4

．

点评：本题主要考查积分的几何意义，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键，要求熟练掌握常见函数的积分公式．