Question

如图，已知点A（11，0），直线x=t（-1＜t＜11）与函数y=

x+1

的图象交于点P，与x轴交于点H，记△APH的面积为f（t）．
（ I）求函数f（t）的解析式；
（ II）求函数f（t）的最大值．

Answer 1

分析：（ I）由题意设点P坐标，来表示AH，PH的大小，计算出△APH的面积f（t）=

1

2

•AH•PH；
（ II）【解法1】求f（t）的导函数f，（t），令f'（t）=0，求得f'（t）＞0、＜0的t的取值范围，从而求得f（t）的最大值．
【解法2】由f（t）=

1

2

（11-t）

t+1

=

1

2

(11-t)2(t+1)

，其中-1＜t＜11，设g（t）=（11-t）²（t+1），其中-1＜t＜11，利用求导法求出g（t）的最大值，从而得出f（t）的最大值．

解答：解：（ I）由题意点P（x，y），则x=t，y=

t+1

，其中-1＜t＜11，
∴AH=11-t，PH=

t+1

，
所以△APH的面积为f（t）=

1

2

•AH•PH=

1

2

（11-t）

t+1

，其中-1＜t＜11．
（ II）【解法1】∵f（t）=

1

2

（11-t）

t+1

，其中-1＜t＜11．
∴f，（t）=-

1

2

t+1

+

1

2

×（11-t）×

1

2 t+1

=

3(3-t)

4 t+1

，
由f'（t）=0，得t=3，
函数f（t）与f'（t）在定义域上的情况下表：

所以当t=3时，函数f（t）取得最大值8．
【解法2】由f（t）=

1

2

（11-t）

t+1

=

1

2

(11-t)2(t+1)

，-1＜t＜11，
设g（t）=（11-t）²（t+1），-1＜t＜11，
则g'（t）=-2（11-t）（t+1）+（11-t）²=（t-11）（t-11+2t+2）=3（t-3）（t-11）．
函数g（t）与g'（t）在定义域上的情况下表：


所以当t=3时，函数g（t）取得最大值，
即当t=3时，函数f（t）取得最大值

1

2

g(3)

=8．

点评：本题考查了函数的综合应用，其中有利用导数来求函数在某一区间上的最值问题，属于中档题．