Question

已知双曲线的渐近线方程为y=±

4

3

x，并且焦点都在圆x²+y²=100上，求双曲线方程．

Answer 1

分析：当焦点在当焦点在y轴上时 x轴上时，设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，由

b

a

=

4

3

 和c=10，解得a和b 的值，即得所求双曲线方程，当焦点在y轴上时，同理可求双曲线方程．

解答：解：当焦点在x轴上时，设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）．
由渐近线方程y=±

4

3

x得

b

a

=

4

3

．①又焦点在圆x²+y²=100上，知c=10，即a²+b²=100．②
由①②解得a=6，b=8．∴所求双曲线方程为 

x2

36

-

y2

64

=1．
当焦点在y轴上时，设双曲线方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），则

a2+b2=100 a b = 4 3

，即

a=8 b=6

，
∴所求双曲线方程为

y2

64

-

x2

36

=1．
综上，所求双曲线方程为

x2

36

-

y2

64

=1，或

y2

64

-

x2

36

=1．

点评：本题考查双曲线方程的标准形式，用待定系数法求双曲线的标准方程，体现了分类讨论的数学思想．