Question

某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为；依此规律得到级分形图.

（1） 级分形图中共有 条线段；

（2） 级分形图中所有线段长度之和为 ．

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】

试题分析：

（1）显然当时，有3条线段，

当时,3条线段的另一端各增加2条线段,所以新增线段条,故此时共有条线段;

当时,在时新增的线段的另一端各增加2条线段,所以新增线段条,故此时共有条线段;

依次类推,每次都是在上一次的新增线段的另一端各增加2条线段,所以推断出级分形图中,有线段

条.

（2）设级分形图中所有线段长度之和为,根据题意,

显然, 构成一个首项为3,公比为的等比数列的和.

所以.

考点：观察图像,总结规律,找到数列,等比数列求和公式;类比法.