Question

设等比数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，公比（λ≠-1且λ≠0）．
（1）证明：S_n=（1+λ）-λa_n；
（2）设，数列{b_n}满足b₁=f（1），b_n=f（b_n-1）（n∈N*且n≥2），求数列{b_n}的通项公式及的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知q≠0且q≠1，利用等比数列的通项公式可得，利用等比数列的求和公式可证
（2）由，可得，从而可得是等差数列，从而可求b_n，利用等差数列的求和公式可求，从而可求极限
解答：证明：（1）由已知q≠0且q≠1，所以（n∈N*），…（1分）
所以，（5分）
即S_n=（1+λ）-λa_n．…（6分）
（2）由已知，，所以，…（8分）
所以，是首项为2，公差为1的等差数列，，…（9分）
所以数列{b_n}的通项公式为．…（10分）
所以，…（12分）
所以．…（14分）
点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及等比数列的求和公式的应用，利用递推公式构造等差数列，及等差数列的求和公式等知识的综合应用，属于公式的综合运用．