题目内容

如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB=2，E是PB的中点，cos＜ $数学公式$ ， $数学公式$ ＞= $数学公式$ ．
（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；
（2）在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB．

解：（1）以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）．
设P（0，0，2m），则E（1，1，m）．
∴ $\text{[math]}$ =（-1，1，m）， $\text{[math]}$ =（0，0，2m），
∴cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得m=1．
∴点E坐标是（1，1，1）．
（2）∵F∈平面PAD，∴可设F（x，0，z）? $\text{[math]}$ =（x-1，-1，z-1）．
∵EF⊥平面PCB，∴ $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ?（x-1，-1，z-1）•（2，0，0）=0?x=1．
∵ $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，∴（x-1，-1，z-1）•（0，2，-2）=0?z=0．
∴点F的坐标是（1，0，0），即点F是AD的中点．
分析：（1）以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，求出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的坐标，代入两个向量的夹角公式，解方程求得点E坐标．
（2）由F∈平面PAD，可设F（x，0，z），则 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，且 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，解方程组求得F的坐标．
点评：本题考查两个向量的夹角公式，向量和平面垂直的性质，体现了数形结合的数学思想．