题目内容

设F1，F2分别是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点，若椭圆C上的一点A（1，
3
2
）到F1，F2的距离之和为4．
（1）求椭圆方程；
（2）若M，N是椭圆C上两个不同的点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，求证：|
OP
|＜
1
2
；
（3）若M，N是椭圆C上两个不同的点，Q是椭圆C上不同于M，N的任意一点，若直线QM，QN的斜率分别为KQM•KQN．问：“点M，N关于原点对称”是KQM•KQN=-
3
4
的什么条件？证明你的结论．
分析：（1）由题意可得
1
a2
+
9
4b2
=1
2a=4
，解得即可；
（2）利用线段垂直平分线的性质和点在椭圆上即可得出；
（3）利用“点M，N关于原点对称”和斜率计算公式即可得出．
解答：解：（1）由题意可得
1
a2
+
9
4b2
=1
2a=4
，解得a=2，b2=3．
∴椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，0），
则|PM|=|PN|，∴(x1-x0)2+
y
2
1
=(x2-y2)2+
y
2
2
．（*）
又M，N在椭圆上，∴
y
2
1
=3-
3
4
x
2
1
，
y
2
2
=3-
3
4
x
2
2
；
代入（*）得x0=
x1+x2
8
＜
2+2
8
=
1
2
，则有|
OP
|＜
1
2
．
（3）“点M，N关于原点对称”是KQM•KQN=-
3
4
的充要条件．
证明：设M（x1，y1），Q（x0，y0），则N（-x1，-y1）．
于是
x
2
1
4
+
y
2
1
3
=1，
x
2
0
4
+
y
2
0
3
=1，得到
y
2
1
-
y
2
0
x
2
1
-
x
2
0
=-
3
4
．
∴kQM•kQN=
y1-y0
x1-x0
•
-y1-y0
-x1-x0
=
y
2
1
-
y
2
0
x
2
1
-
x
2
0
=-
3
4
?点M，N关于原点对称．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、充要条件等是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网设F1，F2分别是椭圆C：
x2
6m2
+
y2
2m2
=1（m＞0）的左，右焦点．
（1）当P∈C，且
PF1
•
PF
2=0，|PF1|•|PF2|=8时，求椭圆C的左，右焦点F1、F2．
（2）F1、F2是（1）中的椭圆的左，右焦点，已知⊙F2的半径是1，过动点Q的作⊙F2切线QM，使得|QF1|=
2
|QM|（M是切点），如图．求动点Q的轨迹方程．
设F1，F2分别是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆上一点P(1，
3
2
)到F1，F2两点距离之和等于4．
（Ⅰ）求此椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(
1
8
，0)，求k的取值范围．
精英家教网设F1、F2分别是椭圆C：
x2
6m2
+
y2
2m2
=1（m＞0）的左、右焦点．
（I）当p∈C，且
pF1
•
pF
2=0，|
pF1
|•|
pF
2|=4时，求椭圆C的左、右焦点F1、F2的坐标．
（II）F1、F2是（I）中的椭圆的左、右焦点，已知⊙F2的半径是1，过动点Q作的切线QM（M为切点），使得|QF1|=
2
|QM|，求动点Q的轨迹．
设F1，F2分别是椭圆C：
x2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（　　）
（2013•肇庆二模）设F1，F2分别是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点．
（1）设椭圆C上的点(
2
2
，
3
2
)到F1，F2两点距离之和等于2
2
，写出椭圆C的方程；
（2）设过（1）中所得椭圆上的焦点F2且斜率为1的直线与其相交于A，B，求△ABF1的面积；
（3）设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPN，kPN试探究kPN•kPN的值是否与点P及直线l有关，并证明你的结论．

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