题目内容
如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E。
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AB=6，BC=4，求AE。
（2）若AB=6，BC=4，求AE。
解：（1）在ΔABE和ΔACD中，
∵
，∠ABE=∠ACD
又∠BAE=∠EDC
∵BD//MN
∴∠EDC=∠DCN
∵直线是圆的切线，
∴∠DCN=∠CAD
∴∠BAE=∠CAD
∴ΔABE≌ΔACD（角、边、角）。
（2）∵∠EBC=∠BCM，∠BCM=∠BDC
∴∠EBC=∠BDC=∠BAC，BC=CD=4
又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB
∴ BC=BE=4
设AE=x，易证ΔABE∽ΔDEC
∴
又
，
∴
∴
。
∵
，∠ABE=∠ACD又∠BAE=∠EDC
∵BD//MN
∴∠EDC=∠DCN
∵直线是圆的切线，
∴∠DCN=∠CAD
∴∠BAE=∠CAD
∴ΔABE≌ΔACD（角、边、角）。
（2）∵∠EBC=∠BCM，∠BCM=∠BDC
∴∠EBC=∠BDC=∠BAC，BC=CD=4
又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB
∴ BC=BE=4
设AE=x，易证ΔABE∽ΔDEC
∴
又
，∴
∴
。
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