Question

已知点A（-1，O），B（1，0），动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ，|

AM

|•|

BM

|cos2θ=3．
（I）求曲线C的方程；
（II）试探究曲线C上是否存在点P，使直线PA与PB的斜率k_PA•k_PB=1？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ，根据余弦定理，及|

AM

|•|

BM

|cos2θ=3，可得|

AM

|+|

BM

|=4，从而可得点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆（点M在x轴上也符合题意），由此可得曲线C的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C是椭圆，它的两个焦点坐标分别为A（-1，0），B（1，0），利用直线PA与PB的斜率k_PA•k_PB=1可得方程，根据双曲线的两个顶点在椭圆内，结合椭圆和双曲线的对称性可得结论．

解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ，
根据余弦定理得|

AM

|2+|

BM

|2-2|

AM

|•|

BM

|cos2θ=4．…（2分）
即(|

AM

|+|

BM

|)2-2|

AM

|•|

BM

|(1+cos2θ)=4(|

AM

|+|

BM

|)2-4|

AM

|•|

BM

|cosθ=4．
而|

AM

|•|

BM

|cos2θ=3，所以(|

AM

|+|

BM

|2)-4×3=4．
所以|

AM

|+|

BM

|=4…（5分）
又|

AM

|+|

BM

|=4＞2=|AB|
因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆（点M在x轴上也符合题意），所以a=2，c=1．
所以曲线C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C是椭圆，它的两个焦点坐标分别为A（-1，0），B（1，0），
设P（x，y）是椭圆上的点，
∵k_PA•k_PB=1，∴

y

x+1

•

y

x-1

=1(x≠±1)，
∴x²-y²=1（x≠±1），…（11分）
这是实轴在x轴，顶点是椭圆的两个焦点的双曲线，它与椭圆的交点即为点P．
由于双曲线的两个顶点在椭圆内，根据椭圆和双曲线的对称性可知，它们必有四个交点．
即圆心M的轨迹上存在四个点P，使直线PA与PB的斜率k_PA•k_PB=1．…（14分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查椭圆的标准方程，考查椭圆与双曲线的对称性，正确运用向量知识是关键．