Question

已知点A（1，1）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点，F₁，F₂是椭圆的两焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（I）求椭圆的两焦点坐标；
（II）设点B是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A、B两点关于原点O不对称．

Answer 1

分析：（I）由椭圆定义知：2a=4，把（1，1）代入得

1

4

+

1

b2

=1求出b，根据c2=a2-b2得到c=

2 6

3

进一步求出两焦点坐标．
（II）用反证法：假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为（-1，-1），此时|AB|=2

2

；再取椭圆上一点M(-2，0)，则|AM|=

10

得到|AM＞|AB|．即得证．

解答：解：（I）由椭圆定义知：2a=4，
∴a=2
∴

x2

4

+

y2

b2

=1
把（1，1）代入得

1

4

+

1

b2

=1
∴b2=

4

3

则椭圆方程为

x2

4

+

y2

4 3

=1
∴c2=a2-b2=4-

4

3

=

8

3

∴c=

2 6

3

故两焦点坐标 为(

2 6

3

，0)，(-

2 6

3

，0)．…（3分）
（II）用反证法：假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为（-1，-1），
此时|AB|=2

2

取椭圆上一点M(-2，0)，则|AM|=

10

∴|AM＞|AB|．
从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立． …（7分）

点评：本题考查椭圆的定义及椭圆中三个参数的关系：c²=a²-b²；考查利用反证法证明命题，属于中档题．