Question

若点P（m，n）与点P′（m′，n′）满足m′=n，n′=m，则称P′为P的“反变换对称点”，如点（1，2）的“反变换对称点”为点（2，1），已知三点M（3

2

，4），F₁（-5，0），F₂（5，0）
（1）求以F₁、F₂为焦点，且过点M的双曲线C₁的标准方程；
（2）设M′、F₁′和F₂′分别为M、F₁和F₂的“反变换对称点”，求以F₁′、F₂′为焦点，且过点M′的椭圆C₂的标准方程．

Answer 1

考点：双曲线的应用,椭圆的应用

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意，c=5，2a=||MF₁|-|MF₂||=6，可得a=3，b=4，即可求出双曲线C₁的标准方程；
（2）M′（4，3

2

），F₁′（0，-5），F₂′（0，5）可得c′=5，2a′=||M′F₁′|+|M′F₂′||=10

2

，即可求出椭圆C₂的标准方程．

解答： 解：（1）由题意，c=5，2a=||MF₁|-|MF₂||=6，
∴a=3，b=4，
∴双曲线C₁的标准方程为

x2

9

-

y2

16

=1；
（2）M′（4，3

2

），F₁′（0，-5），F₂′（0，5）
∴c′=5，2a′=||M′F₁′|+|M′F₂′||=10

2

，
∴a′=5

2

，
∴b′=5，
∴椭圆C₂的标准方程为

y2

50

+

x2

25

=1．

点评：本题考查椭圆、双曲线的标准方程，考查椭圆、双曲线的定义，属于中档题．