Question

设f（x）=x+

4

x2

（x＞0）．
（1）判断并用定义证明函数f（x）在区间（2，+∞）上的单调性；
（2）若m∈R，求函数f（x）在闭区间[2^m，2^m+1]上的值域．

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，通过作差可证明f（x₁）＜f（x₂），利用单调性的定义可作出判断；
（2）分2^m+1≤2，2^m≥2，2^m＜2＜2^m+1三种情况进行讨论，借助函数f（x）的单调性可求得其最大值、最小值，从而可得函数的值域；

解答：解：（1）f（x）在（2，+∞）上单调递增，证明如下：
任取x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x1+

4

x12

）-（x₂+

4

x22

）
=（x₁-x₂）+（

4

x12

-

4

x22

）
=（x₁-x₂）（1-

4(x1+x2)

x12x22

）
=（x₁-x₂）（1-

4

x1x22

-

4

x12x2

），
∵x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x1x22＞8，x1x22＞8，∴

4

x1x22

＜

1

2

，

4

x12x2

＜

1

2

，
∴1-

4

x1x22

-

4

x12x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在区间（2，+∞）上单调递增；
（2）f′（x）=1-

8

x3

，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2）上递减，由（1）知f（x）在（2，+∞）上递增，
则①当2^m+1≤2，即m≤0时，值域为[f(2m+1)，f(2m)]=[2m+1+

1

22m

，2m+

4

22m

]；
②当2^m≥2，即m≥1时，值域为[f(2m)，f(2m+1)]=[2m+

4

22m

，2m+1+

1

22m

]；
③当2^m＜2＜2^m+1，即0＜m＜1时，函数最小值为f（2）=3，
最大值为f（2^m）与f（2^m+1）中的较大者，且f(2m+1)-f(2m)=2m+1+

1

22m

-2m-

4

22m

=2m-

3

22m

，
当0＜m≤log₈3时，值域为[f(2)，f(2m)]=[3，2m+

4

22m

]；
当log₈3＜m＜1时，值域为[f(2)，f(2m+1)]=[3，2m+1+

1

22m

]．

点评：本题考查函数单调性的判断及其应用，考查函数值域的求解，考查分类讨论思想．