Question

设f（x）=x-

4

x

（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明．

Answer 1

分析：（1）利用奇偶性的定义进行判断；
（2）利用函数单调性的定义进行判断、证明．

解答：解：（1）函数的定义域为{x|x≠0}．
因为f（-x）=-x-

4

-x

=-（x-

4

x

）=-f（x），
所以f（x）是奇函数．
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数．
证明：设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（x₁-

4

x1

）-（x₂-

4

x2

）=

(x1-x2)(x1x2+4)

x1x2

．
因为0＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂+4＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（0，+∞）上单调递增．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，定义法是解决该类问题的基本方法．