Question

设P为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上除顶点外的任意一点，F₁，F₂分别为左右点，△F₁PF₂的内切圆交实轴于点M，则|F₁M|•|MF₂|值为

b²

．

Answer 1

分析：根据图象和圆切线长定理可知|F₁M|-|F₂M|=±2a，与|F₁M|+|MF₂|=|F₁F₂|=2c联立即可求出|F₁M|和|MF₂|，|F₁M|与|F₂M|的积再根据双曲线的基本性质c²-a²=b²化简得到值．

解答：解：由已知，得|PF₁|-|PF₂|=±2a，即|F₁M|-|F₂M|=±2a．
又|F₁M|+|F₂M|=2c，
∴|F₁M|=c+a或c-a，|F₂M|=c-a或c+a．
因此|F₁M|•|MF₂|=（c+a）（c-a）=c²-a²=b²．
故答案为：b²．

点评：本小题主要考查双曲线的定义、双曲线的基本性质、圆切线长定理等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．