题目内容

设Q为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1上一动点，A（3a，0）为中心，将AQ沿顺时针方向选转
π
2
到AP，求P点的轨迹方程．
分析：利用复数的运算分别表示出向量：
AQ
和
AP
，再根据由向量
AQ
绕顶点A按顺时针方向旋转
π
2
而得到
AP
得到向量的关系式：zAQ•（i）=zAP
 将向量的坐标代入计算，最后利用点（x0，y0）在双曲线上，可求得点P的轨迹方程．
解答：精英家教网解：如图所示，设点Q，P，A所对应的复数为：
zQ=x0+y0i，zP=x+yi，zA=3a则向量
AP
对应的复数
z
AP
=（x-3a）+yi
向量
AQ
对应的复数
z
AQ
=(x0-3a+y0i
由向量
AQ
绕顶点A按顺时针方向旋转
π
2
而得到
AP
，得zAQ•（i）=zAP
即（x0-3a+y0i）•（-i）=（x-3a+yi）
由复数相等的定义得
x0=3a-y
y0=x-3a

而点（x0，y0）在双曲线上，可知点P的轨迹方程为
(y-3a)2
a2
=
(x-3a)2
b2
=1
点评：本题考查利用相关点求轨迹方程．相关点法是指根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．
练习册系列答案
相关题目
设双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，点A、B分别为双曲线C实轴的左端点和虚轴的上端点，点F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，点M、N是双曲线C的右支上不同两点，点Q为线段MN的中点．已知在双曲线C上存在一点P，使得
PA
+
PB
+
PF2
=(
3
-3)
OP
．
（Ⅰ）求双曲线C的离心率；
（Ⅱ）设a为正常数，若点Q在直线y=2x上，求直线MN在y轴上的截距的取值范围．
设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）两焦点为F1、F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F2作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为M，则M点轨迹是（　　）
A、椭圆的一部分
B、双曲线的一部分
C、抛物线的一部分
D、圆的一部分
设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P，Q两点，如果△PQF是直角三角形，则双曲线的离心率为（　　）
A、2
B、
3
C、
2
D、
3
3
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F（
3
，0），
一条渐近线的方程为y=-
2
2
x，点P为双曲线上不同于A、B的任意一点，过P作x轴的垂线交双曲线于另一点Q．
（I）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）求直线AP与直线BQ的交点M的轨迹E的方程；
（Ⅲ）过点N（l，0）作直线l与（Ⅱ）中轨迹E交于不同两点R、S，已知点T（2，0），设
NR
=λ
NS
，当λ∈[-2，-1]时，求|
TR
+
TS
|的取值范围．

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