Question

菱形ABCD所在平面外一点P，已知PA=PC，
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）在PC上是否存在一点E，使PA∥平面EBD，证明你的结论。

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
设AC∩BD=O，
∵PA=PC，
∴AC⊥PO，
又∵BD平面PBD，PO平面PBD，PO∩BD=O，
∴AC⊥平面PBD， 
又AC平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）当E为PC的中点时，PA∥平面EBD；
∵E、O分别为PC、AC的中点，
∴PA∥EO，
∵EO平面EBD，PA平面EBD，
∴PA∥平面EBD。