Question

14．已知集合A={x|（a-1）x²+3x-2=0}，是否存在这样的实数a，使得集合A有且只有两个子集？若存在，求出实数a的值与其对应的两个子集？若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 要使集合A有且仅有两个子集，即集合A有且只有一个元素，即方程（a-1）x²+3x-2=0有且只有一个实根．

解答 解：要使集合A有且仅有两个子集，即集合A有且只有一个元素，即方程（a-1）x²+3x-2=0有且只有一个实根．
①当a-1=0即a=1时，方程化为3x-2=0即x=$\frac{2}{3}$，
∴A={$\frac{2}{3}$}，对应的两个子集：∅，{$\frac{2}{3}$}．
②当a-1≠0即a≠1时，△=9+8（a-1）=0即a=-$\frac{1}{8}$时，
A={x|-$\frac{9}{8}$x²+3x-2=0}={x|9x²-24x+16=0}={x|（3x-4）²=0}={$\frac{3}{4}$}，对应的两个子集：∅，{$\frac{3}{4}$}．

点评 本题考查集合的关系，考查分类讨论的数学思想，要使集合A有且仅有两个子集，即集合A有且只有一个元素，即方程（a-1）x²+3x-2=0有且只有一个实根是解题的关键．