题目内容

已知椭圆的两个焦点 $数学公式$ ， $数学公式$ ，过F₁且与坐标轴不平行的直线l₁与椭圆相交于M，N两点，△MNF₂的周长等于8．若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，x轴上存在定点E（m，0），使 $数学公式$ 恒为定值，则E的坐标为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：先确定椭圆的方程，再取两个特殊位置，求出 $\text{[math]}$ ，利用x轴上存在定点E（m，0），使 $\text{[math]}$ 恒为定值，即可求得E的坐标．
解答：由题意，设椭圆的方程为 $\text{[math]}$ （a＞b＞0），则c= $\text{[math]}$ ，4a=8
∴a=2， $\text{[math]}$ =1
∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$
取直线l⊥x轴，则可得P（1， $\text{[math]}$ ），Q（1，- $\text{[math]}$ ），所以 $\text{[math]}$ =（m-1，- $\text{[math]}$ ）（m-1， $\text{[math]}$ ）=（m-1）²- $\text{[math]}$
取直线l为x轴，则可得P（-2，0），Q（2，0），所以 $\text{[math]}$ =（m+2，0）•（m-2，0）=m²-4
由题意可得，（m-1）²- $\text{[math]}$ =m²-4，∴m= $\text{[math]}$
∴E的坐标为 $\text{[math]}$
故选C．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

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