题目内容
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=| 1 | 2 |
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角．
分析：（Ⅰ）因为PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，以AD长为单位长度，以AD为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明面PAD⊥面PCD．
（Ⅱ）由
=(1，1，0)，
=(0，2，-1)，利用向量法能够求出AC与PB所成的角．
（Ⅱ）由
| AC |
| PB |
解答：（Ⅰ）证明：
因为PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，
以A为坐标原点，以AD长为单位长度，以AD为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，
如图建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），
D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，
）．
=（0，0，1），
=（0，1，0），
∴
•
=0，∴AP⊥DC．
又由题设知AD⊥DC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，
由此得DC⊥面PAD．
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．
（Ⅱ）解：∵
=(1，1，0)，
=(0，2，-1)，
∴|
|=
=
，|
|=
=
，
•
=2，
∴cos＜
，
＞=
=
=
．
∴AC与PB所成的角为arccos
．
因为PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，以AD长为单位长度，以AD为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，
如图建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），
D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，
| 1 |
| 2 |
| AP |
| DC |
∴
| AP |
| DC |
又由题设知AD⊥DC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，
由此得DC⊥面PAD．
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．
（Ⅱ）解：∵
| AC |
| PB |
∴|
| AC |
| 1+1+0 |
| 2 |
| PB |
| 0+4+1 |
| 5 |
| AC |
| PB |
∴cos＜
| AC |
| PB |
| ||||
|
|
| 2 | ||||
|
| ||
| 5 |
∴AC与PB所成的角为arccos
| ||
| 5 |
点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查空间中异面直线所成角的大小的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．
练习册系列答案
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