Question

【题目】已知抛物线的焦点为抛物线上存在一点到焦点的距离等于3.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的直线与抛物线相交于两点（两点在轴上方），点关于轴的对称点为，且，求的外接圆的方程.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）抛物线的准线方程为，所以点 到焦点的距离为．,解得,从而可得抛物线的方程；（2）设直线的方程为．

将代入并整理得，设， ， ，根据韦达定理以及平面向量数量积公式可得，求得直线与的中垂线方程，联立可得圆心坐标，根据点到直线距离公式以及勾股定理可得圆的半径，从而可得外接圆的方程.

试题解析：（1）抛物线的准线方程为，

所以点 到焦点的距离为．

解得．

所以抛物线的方程为．

（2）设直线的方程为．

将代入并整理得，

由，解得．

设， ， ，

则， ，

因为

因为，所以．

即，又，解得．

所以直线的方程为．设的中点为,

则， ，

所以直线的中垂线方程为．

因为的中垂线方程为，

所以△的外接圆圆心坐标为．

因为圆心到直线的距离为，

且，

所以圆的半径．

所以△的外接圆的方程为．