Question

设函数f（x）=的图象关于点（1，1）对称．
（1）求m的值；
（2）若直线y=a（a∈R）与f（x）的图象无公共点，且f（|t-2|+）＜2a+f（4a），求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（1）在函数f（x）=的图象上取一点（0，-2），此点关于点（1，1）的对称点为（2，4），
由题意可得，点（2，4）在函数f（x）=的图象上，∴4=，解得 m=1．
（2）由（1）可得f（x）==1+，∴f（x） 的值域为{y|y≠1}．
当直线y=a（a∈R）与f（x）的图象无公共点，a=1，不等式即 f（|t-2|+）＜2+f（4）=4，
∴1+＜4，整理可得|t-2|＞，解得：t＞，或 t＜，
即实数t的取值范围为（，+∞）∪（-∞， ）．
分析：（1）在函数f（x）图象上取一点（0，-2），此点关于点（1，1）的对称点（2，4）在函数f（x）的图象上，由此求得m的值．
（2）由（1）可得f（x）=1+，故 f（x） 的值域为{y|y≠1}，a=1．不等式即 f（|t-2|+）＜2+f（4）=4，整理可得|t-2|＞，由此求得实数t的取值范围．
点评：本题主要考查函数的图象，分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．