题目内容

一个口袋中装有大小相同的n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球的颜色不同则为中奖．
（I）试用n表示一次摸奖中奖的概率p；
（II）记从口袋中三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为m，用p表示恰有一次中奖的概率m，求m的最大值及m取最大值时p、n的值；
（III）当n=15时，将15个红球全部取出，全部作如下标记：记上i号的有i个（i=1，2，3，4），共余的红球记上0号．并将标号的15个红球放人另一袋中，现从15个红球的袋中任取一球，ξ表示所取球的标号，求ξ的分布列、期望和方差．

解：（I）一次摸奖从n+5个球中任取两个，有C_n+5²种方法，它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有C_n¹C₅¹种，
∴一次摸奖中奖的概率P= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
（II）设每次摸奖中奖的概率为p（0＜p＜1），三次摸奖中（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是
m= $\text{[math]}$ =3p³-6p²+3p（0＜p＜1）
求导数可得m′=3（p-1）（3p-1）
∴函数在（0， $\text{[math]}$ ）上为增函数，在（ $\text{[math]}$ ，1）上为减函数
∴p= $\text{[math]}$ 时，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即n=20时，m_max= $\text{[math]}$ ；
（III）记上0号的有5个红球，从中任取一球，有15种取法，它们是等可能的
故ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3	4
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

∴Eξ=0× $\text{[math]}$ +1× $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ +4× $\text{[math]}$ =2
Dξ=（0-2）²× $\text{[math]}$ +（1-2）²× $\text{[math]}$ +（2-2）²× $\text{[math]}$ +（3-2）²× $\text{[math]}$ +（4-2）²× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（I）计算出从n+5个球中任取两个的方法数和其中两个球的颜色不同的方法，由古典概型公式，代入数据得到一次摸奖中奖的概率；
（II）求出三次摸奖中（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率，利用导数确定函数的单调性，即可求出其最大值及相应的p值；
（III）记上0号的有5个红球，从中任取一球，有15种取法，它们是等可能的，确定变量的取值，求出相应的概率，可得ξ的分布列、期望和方差．
点评：本题考查概率知识，考查学生的计算能力，求离散型随机变量期望的步骤：①确定离散型随机变量的取值；②写出分布列，并检查分布列的正确与否，即看一下所有概率的和是否为1；③求出期望．