Question

设椭圆C:=1(a＞b＞0)过点(1,),F₁、F₂分别为椭圆C的左、右两个焦点，且离心率e=.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F₂与椭圆C交于M、N两点,若AM、AN的斜率k₁,k₂满足k₁+k₂=,求直线l的方程；

(3)已知P是椭圆C上位于第一象限内的点，△PF₁F₂的重心为G，内心为I，求证：IG∥F₁F₂.

Answer 1

解:(1)由题意椭圆的离心率e=,∴=.∴a=2c.∴b²=a²-c²=3c².

∴椭圆方程为+=1.

又点(1，)在椭圆上，∴+=1.∴c²=1.∴椭圆的方程为+=1.

(2)若直线l斜率不存在，显然k₁+k₂=0不合题意；则直线l的斜率存在.

设直线l为y=k(x-1)，直线l和椭圆交于M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂).

将y=k(x-1)代入3x²+4y²=12中,得到(3+4k²)x²-8k²x+4k²-12=0.

依题意,Δ=9k²-9＞0得k＞1或k＜-1.由韦达定理可知

又k_AM+k_AN=+=k(+)=k［2-3(+)］,

而+===,

从而k_AM+k_AN=k(2-3·)==.

求得k=2,符合k＞1.故所求直线MN的方程为y=2(x-1).

(3)证明:设P点坐标为(x₀,y₀)(y₀＞0),而G为△PF₁F₂的重心,为G(,).

设△PF₁F₂的内切圆半径为r，则

=|F₁F₂|·|y₀|=(|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|)·r,

于是·2c·|y₀|=(2a+2c)·r.

又a=2,c=1,y₀＞0，则r=y₀,从而I点纵坐标,从而IG∥F₁F₂.