Question

已知a，b，c∈R，f(x)＝＋bx＋c．

(Ⅰ)若a＋c＝0，f(x)在[－1，1]上最大值为2，最小值为－，证明：a≠0且||＜2；

(Ⅱ)若a＞0，p，q是满足p＋q＝1的实数，且对任意的实数x，y均有

pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)

证明：0≤p≤1

Answer 1

答案：
解析：

本小题主要考查一次函数、二次函数的图像与性质以及代数推理能力． 　　证明：(Ⅰ)a＋c＝0，得c＝－a，∴f(x)＝ ＋bx－a． 　　假设a＝0或≥2． 　　①由a＝0，得f(x)＝bx．依题设可知，b≠0，因而函数f(x)为单调函数．在[－1，1]上，f(x)的最大值为|b|，最小值为－|b|， 　　于是由此得矛盾． 　　②由≥2，得≥1且a≠0．于是，区间[－1，1]位于抛物线f(x)＝＋bx－a的对称轴x＝的左侧或右侧． 　　∴函数f(x)在[－1，1]上为单调函数，其最大值为|b|，最小值为－|b|．由①知，这是不可能的． 　　综述①、②可知，假设不成立． 　　∴a≠0且＜2． 　　(Ⅱ)pf(x)＋qf(y)－f(px＋qy) 　　＝p(＋bx＋c)＋q(＋by＋c)－[a＋b(px＋qy)＋c] 　　＝ap(1－p)－2apqxy＋aq(1－q) 　　＝apq 　　∵pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)∴apq≥0 　　∵a＞0，≥0∴pq≥0，即p(1－p)≥0． 　　由此解得0≤p≤1．