Question

数列{b_n}的首项b₁=1，前n项和为S_n，点（n，S_n）、（4，10）都在二次函数y=ax²+bx的图象上，数列{a_n}满足

bn

an

=2ⁿ．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=（1-

1

n+1

）

1

an

，R_n=

1

c1

+

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

．试比较R_n与

5n

2n+1

的大小，并证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵b₁=1，∴S₁=1
∴点（1，1）、（4，10）都在二次函数y=ax²+bx的图象上
∴a+b=1，16a+4b=10，解得a=

1

2

，b=

1

2

．
∴S_n=

1

2

n²+

1

2

n．则n≥2时，S_n-1=

1

2

（n-1）²+

1

2

（n-1）．
∴b_n=S_n-S_n-1=

1

2

n²+

1

2

n-[

1

2

（n-1）²+

1

2

（n-1）]=n（n≥2）．
又b₁=1也适合，所以b_n=n（n∈N₊）．则b_n-b_n-1=1．
∴数列{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
又

bn

an

=2ⁿ ∴a_n=

bn

2n

=

n

2n

．
（Ⅱ）证明：∵c_n=（1-

1

n+1

）

1

an

=

n

n+1

•

2n

n

=

2n

n+1

∴

1

cn

=

n+1

2n

∴R_n=

1

c1

+

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

=

1+1

2

+

2+1

22

+

3+1

23

+…+

n+1

2n

①．
∴

1

2

R_n=

1+1

22

+

2+1

23

+

3+1

24

 +…+

n+1

2n+1

，②
两式相减得

1

2

R_n=

1+1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

 -

n+1

2n+1

∴R_n=3-

3+n

2n

，R_n-

5n

2n+1

=

(n+3)(2n-2n-1)

2n(2n+1)

．
所以只需要比较2ⁿ与2n+1的大小即可．
当n=1时，2ⁿ＜2n+1，所以R_n＜

5n

2n+1

，
当n=2时，2ⁿ＜2n+1，所以R_n＜

5n

2n+1

，
当n≥3时，2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+n++n+1＞2n+1，所以R_n＞

5n

2n+1

．（12分）