题目内容

数列{an}满足Sn＝2n－an，先计算数列的前4项，后猜想an并证明之．

答案：
解析：

　　解：由a1＝2－a1，得a1＝1．

　　由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝．

　　由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，得a3＝．

　　由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝．

　　猜想

　　下面证明猜想正确．

　　(1)当n＝1时，由上面的计算可知猜想是成立的．

　　(2)假设当n＝k时猜想成立，就是

　　此时Sk＝2k－ak＝

　　当n＝k＋1时，由Sk+1＝2(k＋1)－ak+1，得

　　Sk＋ak+1＝2(k＋1)－ak+1，

　　∴ak+1＝[2(k＋1)－Sk]

　　

　　这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．

　　由(1)和(2)可以断定对任意正整数n都成立．


练习册系列答案
相关题目
数列{an}满足Sn=2n-an（n∈N）
（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4；
（Ⅱ）猜想通项公式an，并用数学归纳法证明．
数列{an}满足Sn=2n-an（n∈N*）．
（1）计算a1，a2，a3，a4；
（2）由（1）猜想通项公式an．
数列{an}满足Sn=2n-an，其中Sn=a1+a2+a3+…+an，求a1，a2，a3，a4值，猜想an，并用数学归纳法加以证明．
已知正项数列{ an }满足Sn+Sn-1=
2
ta
n
+2 （n≥2，t＞0），a1=1，其中Sn是数列{ an }的前n项和．
（Ⅰ）求通项an；
（Ⅱ）记数列{
1
anan+1
}的前n项和为Tn，若Tn＜2对所有的n∈N*都成立．求证：0＜t≤1．
若正数数列{an}满足Sn=
1
2
(an+
1
an
)，其中Sn是数列{an}的前n项和．
（1）求Sn；
（2）若bn=(
S
2
n
)
1
S
2
n+1
，是否存在bk=bm（k≠m）？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，说明理由．

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