Question

数列{a_n}满足S_n=2n-a_n，其中S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，求a₁，a₂，a₃，a₄值，猜想a_n，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析：根据S_n=2n-a_n，利用递推公式，求出a₁，a₂，a₃，a₄，从而总结出规律求出a_n，然后利用归纳法进行证明．

解答：解：由a₁=2-a₁，得a₁=1，
由a₁+a₂=2×2-a₂，得a₂=

3

2

，
由a₁+a₂+a₃=2×3-a₃，得a₃=

7

4

，
由a₁+a₂+a₃+a₄=2×4-a₄，得a₄=

15

8

，猜想a_n=

2n-1

2n-1

证明：（1）当n=1，由上面计算可知猜想成立，
（2）假设n=k时猜想成立，即a_k=

2k-1

2k-1

，
此时S_k=2k-a_k=2k-

2k-1

2k-1

，
当n=k+1时，Sk+1=2（k+1）-ak+1，得S_k+a_k+1=2（k+1）-a_k+1，
因此a_k+1=

1

2

[2（k+1）-S_k]=k+1-

1

2

（2k-

2k-1

2k-1

）=

2k+1-1

2(k+1)-1

，
∴当n=k+1时也成立，
∴a_n=

2n-1

2n-1

（n∈N⁺）．

点评：此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证；