Question

设函数f（）=，且方程的两个根分别为1,4.

（1）当＝3且曲线y＝f（x）过原点时，求f（x）的解析式；

（2）若f（x）在（－∞，＋∞）内无极值点，求的取值范围．

 

Answer 1

（1）f（x）＝x3－3x2＋12x；（2）[1,9]

【解析】

试题分析：（1）方程的两个根分别为1,4可知关于a、b、c的两个方程，又a=3，解得b=-3，c=12，而曲线过原点，所以d=0，所以解析式为f（x）＝x3－3x2＋12x，（2）由于a>0，所以“f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d在（－∞，＋∞）内无极值点”等价于“f′（x）＝ax2＋2bx＋c≥0在（－∞，＋∞）内恒成立”，因此a>0,,解得a∈[1,9].

试题解析：由f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d得f′（x）＝ax2＋2bx＋c

∵f′（x）－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.

∴（*）

（1）当a＝3时，由（*）式得，解得b＝－3，c＝12.

又∵曲线y＝f（x）过原点，∴d＝0.

故f（x）＝x3－3x2＋12x.

（2）由于a>0，所以“f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d在（－∞，＋∞）内无极值点”等价于“f′（x）＝ax2＋2bx＋c≥0在（－∞，＋∞）内恒成立”，

由（*）式得2b＝9－5a，c＝4a.

又∵Δ＝（2b）2－4ac＝9（a－1）（a－9）

解，得a∈[1,9]，

即a的取值范围为[1,9]．

考点：1.函数与导函数的综合应用；2.不等式恒成立问题