题目内容
设向量
，
（n∈N*），函数
在x∈[0，1]上的最小值与最大值的和为an，又数列{bn}满足b1=1，
．（1）求证：an=n+1；
（2）求数列{bn}的通项公式；
（3）设cn=-an•bn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有cn≤ck成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）利用函数
在x∈[0，1]上的最小值与最大值的和为an，结合向量数量积公式，可得结论；
（2）再写一式，两式相减，即可求数列{bn}的通项公式；
（3）由题意，ck为{cn}的最大项，则k≥2，要使ck为最大值，则
，解不等式，即可求得k的取值．
解答：（1）证明：由已知，y=x（x+n）+2（2x-1）=x2+（4+n）x-2…（2分）
而函数y在x∈[0，1]上是增函数，…（3分）
所以an=-2+1+4+n-2=n+1．…（4分）
（2）解：因为
，
所以
（n≥2），…（6分）
两式相减，得bn=
（n≥2）．…（8分）
所以，数列{bn}的通项公式为bn=
…（10分）
（3）解：因为c1=-a1•b1=-2＜0，cn=-an•bn=
＞0（n≥2），…（12分）
由题意，ck为{cn}的最大项，则k≥2，
要使ck为最大值，则
…（13分）
即
…（14分）
解得k=9或k=8． …（15分）
所以存在k=8或9，使得cn≤ck成立．…（16分）
点评：本题考查数列与向量的综合，考查数列的通项，考查恒成立问题，求得数列的通项是关键．
在x∈[0，1]上的最小值与最大值的和为an，结合向量数量积公式，可得结论；（2）再写一式，两式相减，即可求数列{bn}的通项公式；
（3）由题意，ck为{cn}的最大项，则k≥2，要使ck为最大值，则
，解不等式，即可求得k的取值．解答：（1）证明：由已知，y=x（x+n）+2（2x-1）=x2+（4+n）x-2…（2分）
而函数y在x∈[0，1]上是增函数，…（3分）
所以an=-2+1+4+n-2=n+1．…（4分）
（2）解：因为
，所以
（n≥2），…（6分）两式相减，得bn=
（n≥2）．…（8分）所以，数列{bn}的通项公式为bn=
…（10分）（3）解：因为c1=-a1•b1=-2＜0，cn=-an•bn=
＞0（n≥2），…（12分）由题意，ck为{cn}的最大项，则k≥2，
要使ck为最大值，则
…（13分）即
…（14分）解得k=9或k=8． …（15分）
所以存在k=8或9，使得cn≤ck成立．…（16分）
点评：本题考查数列与向量的综合，考查数列的通项，考查恒成立问题，求得数列的通项是关键．
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