题目内容

已知向量
m
=(sinx，
3
2
)，
n
=(cosx，-1)，设f(x)=(
m
+
n
)•
n
．
（1）求函数f（x）的表达式，并求f（x）的单调递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)=
1
2
，b=1，S△ABC=
1
2
，求a的值．
分析：（1）根据
m
=(sinx，
3
2
)，
n
=(cosx，-1)，利用数量积公式，结合辅助角公式化简函数，利用正弦函数的单调递减区间，即可得到结论；
（2）由f(A)=
2
2
sin(2A+
π
4
)=
1
2
得sin(2A+
π
4
)=
2
2
，从而可求A的值，利用三角形的面积公式，结合余弦定理可求a的值．
解答：解：（1）∵
m
=(sinx，
3
2
)，
n
=(cosx，-1)
∴f(x)=(
m
+
n
)•
n
=
m
•
n
+
n
2=sinxcosx+cos2x-
1
2
=
2
2
sin(2x+
π
4
)．
令
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
≤
3π
2
+2kπ，得
π
8
+kπ≤x≤
5π
8
+kπ（k∈Z），
所以函数f（x）的单调递减区间是[
π
8
+kπ，
5π
8
+kπ]（k∈Z）． …（6分）
（2）由f(A)=
2
2
sin(2A+
π
4
)=
1
2
得sin(2A+
π
4
)=
2
2
．
又∵A为△ABC的内角，∴2A+
π
4
=
3
4
π，∴A=
π
4
．
∵b=1，S△ABC=
1
2
，∴
1
2
bcsinA=
1
2
． 
∵a2=b2+c2-2bccosA
∴a=1…（12分）
点评：本题考查向量的运算、三角变换、三角函数的单调性、三角形的面积、余弦定理等知识，考查学生运算能力和运用用知识的能力，中等题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，则sin2θ的值为
 
已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，设函数f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移
1
2
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上[0，
3π
4
]上的取值范围．
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，当θ∈[0，π]时，函数f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．
（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面积．

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