Question

【题目】已知椭圆的离心率为，直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求该椭圆方程．

Answer 1

【答案】．

【解析】试题分析：

由离心率是可得，从而椭圆标准方程中只剩下一个参数，即方程为，接着可设直线与椭圆的交点为，由直线方程与椭圆方程联立消去后可得，而即为，把刚才的代入可求得，得椭圆标准方程．

试题解析：

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

∵，∴,∴，∴a2=4b2．

设椭圆方程，

联立消y得5x2+8x+4﹣4b2=0，

∵直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点，∴△=64﹣4×5×（4﹣4b2）＞0，化为5b3＞1．

∴（*）

∵OP⊥OQ，∴ ，

∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（x1+1）（x2+1）=0．

∴2x1x2+x1+x2+1=0，

把（*）代入可得，

解得，满足△＞0．

∴．

∴椭圆方程为．