Question

已知顶点在原点、焦点F在y轴正半轴上的抛物线Q₁过点（1，2），抛物线Q₂与Q₁关于x轴对称，
（Ⅰ）求抛物线Q₂的方程；
（Ⅱ）过点F的直线交抛物线Q₁于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），过A，B分别作Q₁的切线l₁，
l₂，记直线l₁与Q₂的交点为M（m₁，n₁），N（m₂，n₂）（m₁＜m₂），求证：抛物线Q₂上的点S（s，t）若满足条件m₂s=4，则S恰在直线l₂上。

Answer 1

解：（Ⅰ）设抛物线Q₁的方程为x²=2py（p＞0），
由过点（1，2）得4=2p，解得p=2，
∴Q₁：x²=4y，
抛物线Q₂与Q₁关于x轴对称，故抛物线Q₂的方程为x²=-4y；
（Ⅱ）由题意知AB的斜率必存在且过焦点，
设AB：y=kx+1，联立消y得x²-4kx-4=0，
根据韦达定理有：x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∵抛物线Q₁的方程为，
∴，
∴，
，
∴，同理可得l₂：，
∵N（m₂，n₂）在直线l₁上，且，
∴，
，
∴
代入上式得，
两边同乘以，得，
而，故有，
即S（s，t）满足l₂的方程，
故点S恰在直线l₂上。