题目内容

已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线y=2x+1交于P、Q两点，|PQ|=
15
，求抛物线的方程．
分析：设出抛物线的方程，直线与抛物线方程联立消去y，进而根据韦达定理求得x1+x2的值，进而利用弦长公式求得|AB|，进而根据
p2
4
-p
=
3
求得p，则抛物线方程可得．
解答：解：设抛物线的方程为y2=2px，则
y2=2px
y=2x+1
，消去y得4x2-（2p-4）x+1=0，x1•x2=
1
4

|PQ|=
1+k2
|x1-x2|=
5
( x1+x2)2-4x1x2
=
5
(
p-2
2
)2-4×
1
4
=
15
，
则
p2
4
-p
=
3
，p2-4p-12=0，p=-2，或6
∴y2=-4x，或y2=12x
点评：本题主要考查了抛物线的标准方程．解题的关键是对抛物线基本性质和标准方程的熟练应用．
练习册系列答案
相关题目
已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点P（2，1）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过Q（1，1）作直线交抛物线于A、B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程．
已知顶点在原点、焦点F在y轴正半轴上的抛物线Q1过点（2，1），抛物线Q2与Q1关于x轴对称．
（I）求抛物线Q2的方程；
（II）过点F的直线交抛物线Q1于点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），过A、B分别作Q1的切线l1，l2，记直线l1与Q2的交点为M（m1，n1），N（m2，n2）（m1＜m2），求证：抛物线Q2上的点S（s，t）若满足条件m2s=4，则S恰在直线l2上．
已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点P（2，1）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程；
（3）过点Q（1，1）作直线交抛物线于A，B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程．
已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为
15
．
（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线与直线y=2x-5无公共点，试在抛物线上求一点，使这点到直线y=2x-5的距离最短．

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