Question

已知顶点在原点、焦点F在y轴正半轴上的抛物线Q₁过点（2，1），抛物线Q₂与Q₁关于x轴对称．
（I）求抛物线Q₂的方程；
（II）过点F的直线交抛物线Q₁于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），过A、B分别作Q₁的切线l₁，l₂，记直线l₁与Q₂的交点为M（m₁，n₁），N（m₂，n₂）（m₁＜m₂），求证：抛物线Q₂上的点S（s，t）若满足条件m₂s=4，则S恰在直线l₂上．

Answer 1

分析：（I）设出抛物线Q₁对应的标准方程，代入点（2，1），则求得抛物线Q₁的方程；然后根据抛物线Q₂与Q₁关于x轴对称，则焦点关于x轴对称，开口方向相反，显然易得抛物线Q₂的方程．
（II）先设出直线AB的方程；然后与抛物线Q₁联立方程组并消y，得关于x的一元二次方程，并由韦达定理表示出x₁x₂的值；再根据直线l₁、l₂是抛物线Q₁的切线，则通过导数求其斜率，进而表示出l₁、l₂的方程；由于点S（s，t）的横坐标s与m₂有等量关系m₂s=4，则从点N（m₂，n₂）入手，把n₂用m₂的代数式替换，并根据点N在直线l₁上建立等量关系式；再根据
x₁x₂=-4用x₂替换x₁，经变形使刚才的等式与直线l₂的方程形式更加接近；最后由点S（s，t）在Q₂上，满足t=-

s2

4

，则代入形如l₂方程的等式，使点S（s，t）的坐标s、t恰好满足直线l₂的方程．则问题解决．

解答：解：（I）设抛物线Q₁方程为x²=2py（p＞0），
依题意知4=2p∴p=2．
∴Q₁：x²=4y
又∵抛物线Q₂与Q₁关于x轴对称
∴抛物线Q₂的方程为：x²=-4y．
（II）由题意知AB 的斜率存在，且过焦点（0，1），所以设直线方程为：y=kx+1．
联立

x2=4y y=kx+1

消y得：x²-4kx-4=0．则x₁x₂=-4．
∵抛物线Q₁的方程为x²=4y，即y=

1

4

x2．
∴y′=

1

2

x，则直线l₁的方程为y-y₁=

x1

2

（x-x₁）
又y₁=

1

4

x12∴直线l₁的方程为y=

x1

2

x-

x12

4

同理可得直线l₂的方程为y=

x2

2

x-

x22

4

∵N（m₂，n₂）在直线l₁上，且n₂=-

m22

4

∴-

m22

4

=

x1

2

m₂-

x12

4

①．
又∵x₁x₂=-4，m₂s=4∴x₁=-

4

x2

，m₂=

4

s

则代入①式得：

1

4s2

=

1

2x2s

+

1

4x22

两边同乘以s²x₂²，得

x22

4

=

x2

2

s+

s2

4

，即-

s2

4

=

x2

2

s-

x22

4

而t=-

s2

4

，∴t=

x2

2

s-

x22

4

，即点S（s，t）满足直线l₂的方程．
故点S恰在直线l₂上．

点评：直线与圆锥曲线的相交问题，一般需联立方程组，并消元得一元二次方程，进而利用韦达定理来处理；再者，要证明点恒在线上，需始终明确目标（即欲证点的坐标满足直线方程），从相对复杂的关系中不断变形，最终到达目的地．