Question

各项均为正数的数列{a_n}中，前n项和Sn=(

an+1

2

)2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

＜k恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由Sn=(

an+1

2

)2，知S_n-1=(

an-1+1

2

)2 ，n≥2，由此得an=(

an+1

2

)2-（

an-1+1

2

）²，n≥2，从则能够求出a_n=2n-1．
（2）由题意得k＞（

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

）_max，由

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂项求和法能够证明k≥

1

2

．

解答：解：（1）∵Sn=(

an+1

2

)2，∴S_n-1=(

an-1+1

2

)2 ，n≥2，
两式相减，得an=(

an+1

2

)2-（

an-1+1

2

）²，n≥2，
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴an-an-1 =2，n≥2，
∴{a_n}是公差为2的等差数列，
又∵S₁=（

a1+1

2

）²，得a₁=1，
∴a_n=2n-1．
（2）由题意得k＞（

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

）_max，
∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

，
∴k≥

1

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式恒成立时实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．